ответ: y = 2cosx/2 = - 1*( x-π) + (x - π)³/24 - (x - π)⁵/1920 + ... .
Пошаговое объяснение:
y = 2cosx/2 ; 1) f(π) = 2cosπ/2 = 0 - 1-й член нульовий ;
2) f'(x) = - 2* 1/2 *sinx/2 = - sinx/2 ; f'(π) = - sinπ/2 = - 1 - 2-й член ;
3) f''(x) = ( - sinx/2)' = - 1/2cosx/2 ; f''(x) = - 1/2cosπ/2 = 0 - 3-й член 0 ;
4) f'''(x) =( -1/2cosx/2)' = (-1/2)²sinx/2 ; f'''(π) = (-1/2 )²sinπ/2 = 1/4 - 4-й чл .
5) f ⁽⁴⁾(x) = 1/8 cosx/2 ; f ⁽⁴⁾(π) = 0 - 5-й член розкладу 0 ;
6) f ⁽⁵⁾(x) = - 1/16sinx/2 ; f ⁽⁵⁾(x) = - 1/16 ; . . .
ответ: sin(3*x)=∑(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, где k изменяется от 0 до ∞.
Пошаговое объяснение:
Разложение функции f(x) в ряд Тэйлора по степеням x имеет вид:
f(x)=a0+a1*x+a2*x²+...+an*xⁿ+ ,
где коэффициенты ai находятся по формулам:
a0=f(0), a1=f"(0)/1!, a2=f"(0)/2!,..., an=f⁽ⁿ⁾(0)/n!
В данном случае f(x)=sin(3*x), f'(x)=3*cos(3*x)=3*sin(3*x+π/2)=3¹*(-1)¹⁺¹*sin(3*x+π*1/2), f"(x)=-9*sin(3*x)=3²*(-1)²⁺¹sin(3*x+π*2/2) и вообще
f⁽ⁿ⁾(x)=3ⁿ*(-1)ⁿ⁺¹*sin(3*x+π*n/2). Отсюда a0=sin(0)=0, и подставляя затем в выражения для n-ной производной x=0, находим:
an=3ⁿ*(-1)ⁿ⁺¹*sin(π*n/2)/n!.
Если n=2*k, где k=0,1,2,, то sin(2*k*π/2)=sin(k*π)=0, так что все коэффициенты с чётным индексом n=2*k равны нулю. Пусть теперь n=2*k+1, тогда sin[π*(2*k+1)/2]=(-1)^k, и тогда коэффициенты с нечётными индексами 2*k+1 равны a(2*k+1)=3^(2*k+1)*(-1)^(2*k+2)*(-1)^k/(2*k+1)!. Но так как 2*k+2 - чётное число, то (-1)^(2*k+2)=1, и тогда a(2*k+1)=3^(2*k+1)*(-1)^k/(2*k+1)!. Тогда n-ный член ряда Тэйлора равен 3^(2*k+1)*x^(2*k+1)*(-1)^k/(2*k+1)! =(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, и окончательно:
sin(3*x)=∑(-1)^k*(3*x)^(2*k+1)/(2*k+1)!, где k изменяется от 0 до ∞.
6*4:3:2*7=24:3:2*7=8:2*7=4*7=28
9*6-3*6+18-27:3=54-18+18-9=45
48:6:2-6:3*2=8*2-2*2=16-4=12
(34+19)-3-(15+18)+(28+29)=53-3-33+57=17+57=74
(59+27)-(20-9)-30+(23+18)=86-11-30+41=86