Чтобы число делилось на 90 надо, чтобы оно делилось на 10 и на 9. Число делится на 10 только если окначивается на 0, значит последние 41 обязательно должны быть вычеркнуты. Остается 1415650. Сумма его цифр равна 1+4+1+5+6+5+0=22. Число делится на 9 только, если сумма его цифр делится на 9. Значит нам осталось вычеркнуть одну цифру (а значит и уменьшить на нее сумму цифр) так, чтобы оставшаяся сумма цифр делилась на 9. Ближайшее число кратное 9 к 22 это 18. Значит нам нужно вычеркнуть цифру 4=22-18. Итак остается 115650. Если разрешается вычеркнуть только 3 цифры, то это единственное такое число.
Будем строить нужное представление в виде суммы двух чисел так. Вычтем по порядку из исходного числа 0, 11, 22, 33, ..., 99. Пусть результат ...xyz, и он получился при вычитании kk. Тогда если k = 0 и ...x > y или k > 0 и ...x >= y, то удовлетворяет условию разложение (...x - y)kk + yyz. (Поясняющий пример: пусть исходное число 407. Тогда разности равны 407, 396, 385, 374, 363, 352, 341, 330, 319, 308. Выбираем 319 = 407 - 88. Разложение имеет вид 119 + 288)
Ничего не выйдет, если при любом k выходит, что ...x < y. Заметим, что y пробегает все цифры 0, 1, ..., 9, кроме одной. y = 1 пропускается, если число больше 99 и даёт остаток 10 при делении на 11. * Если число даёт остаток 10 при делении на 11 и оно больше 208, то либо среди разностей есть 219 (для чисел от 219 до 318), или все разности не меньше 329 - 99 = 230. В последнем случае подойдёт такое k, при котором ...xyz = ...x2z. * Если число дает остаток не 10 при делении на 11 и оно больше 208, то любая разность не меньше 209 - 99 = 110, подойдет такое k, при котором ...xyz = ...x1z.
Итак, для любого числа, большего 208, требуемое представление находится. Легко проверить, что для 208 такого представления нет. Поэтому
