Question

Найти длину дуги кривой y=ln(sinx); (п/4

Answer 1

Длина дуги кривой между точками a и b находится по формуле

$L = \int\limits_C\sqrt{dx^2+dy^2}=\int\limits_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx=\\\\ \int\limits_a^b\sqrt{1+ctg^2x}dx = \int\limits_a^b\frac{dx}{|\sin x|}$

Далее найду первообразную считая что я в той области где синус положителен

$\int\frac{dx}{\sin x} = \int\frac{1+\tan^2(x/2)}{2\tan(x/2)}d(\tan(x/2))2\cos^2(x/2) = \int\frac{d(\tan(x/2))}{\tan(x/2)} = \\\\ =\ln\tan(x/2)+C$
 
И ответ следующий

$L = \ln\frac{\tan b/2}{\tan a/2}$