Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Доказательство 1 (тригонометрическое):
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }},
где {\displaystyle \ \gamma } — угол треугольника, противолежащий стороне {\displaystyle c}. По теореме косинусов:
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}
Отсюда:
{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}
Значит,
{\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}{\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}{\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.
Замечая, что {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a+c-b=2p-2b}, {\displaystyle c-a+b=2p-2a}, получаем:
{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}
Таким образом,
{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}
ч.т.д.
Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):

Треугольник со сторонами a, b, c и высотой h, разделяющей основание c на d и (c − d).
По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:
{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}}
Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(b-c)^{2})}{4c^{2}}}={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\\end{aligned}}}
Замечая, что {\displaystyle b+c-a=2p-2a}, {\displaystyle a+b+c=2p}, {\displaystyle a+b-c=2p-2c}, {\displaystyle a-b+c=2p-2b}, получаем:
{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^{2}}}={\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}}
Используя основное равенство для площади треугольника {\displaystyle S={\frac {ch}{2}}} и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:
{\displaystyle {\begin{aligned}S={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^{2={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}
ч.т.д.
1.Решение:
Наибольший общий делитель::
Разложим числа на простые множители и подчеркнем общие множители чисел:
35 = 5 · 7
88 = 2 · 2 · 2 · 11
Общие множители чисел: 1
НОД (35; 88) = 1
Наименьшее общее кратное::
Разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем меньшее число. Подчеркнем в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа.
88 = 2 · 2 · 2 · 11
35 = 5 · 7
Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (эти множители подчеркнуты) добавить к множителям большего числа и перемножить их:
НОК (35; 88) = 2 · 2 · 2 · 11 · 5 · 7 = 3080
Наибольший общий делитель НОД (35; 88) = 1
Наименьшее общее кратное НОК (35; 88) = 3080
Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6
Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144
Это следует знать! Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7
2.
Наибольший общий делитель::
Разложим числа на простые множители и подчеркнем общие множители чисел:
60 = 2 · 2 · 3 · 5
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Общие множители чисел: 2; 2; 3
Чтобы найти НОД чисел, необходимо перемножить их общие множители:
НОД (60; 48) = 2 · 2 · 3 = 12
Наименьшее общее кратное::
Разложим числа на простые множители. Сначала запишем разложение на множители самого большого число, затем меньшее число. Подчеркнем в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа.
60 = 2 · 2 · 3 · 5
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (эти множители подчеркнуты) добавить к множителям большего числа и перемножить их:
НОК (60; 48) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2 · 2 = 240
Наибольший общий делитель НОД (60; 48) = 12
Наименьшее общее кратное НОК (60; 48) = 240
