Question

Решить уравнение: sin²2x+cos4x=0,5 найдите корни на промежутке [-\pi; 2\pi]

Answer 1

(1-cos4x)/2+cos4x=1/2
1-cos4x+2cos4x=1
cos4x=0
4x=π/2+πn
x=π/8+πn/4,n∈z

Answer 2

Решить уравнение: sin²2x+cos4x=0,5 ;
найдите корни на промежутке   [-π; 2π] .

sin²2x+cos4x=0,5  ;
(1 -cos4x) /2 +cos4x =1/2  ;
1 -cos4x +2cos4x =1 ;
cos4x =0 ;
4x =π/2 +π*n  , n ∈ Z .
x = π/8 +(π/2)*n  , n ∈ Z .  * * * общее  решения уравнения  * * *
Выделяем  корни  расположенные  на   замкнутой промежутке   [- π; 2π] .
- π ≤ x  ≤ 2π  ⇔  - π ≤  π/8 +(π/2)*n  ≤ 2π  ⇔ - π -  π/8 ≤ π/2)*n  ≤  - π/8 +2π
- 9π/8 ≤ π/2)*n  ≤  15 π/8  ⇔ - 9/4 ≤ n  ≤  15 / 4 ⇒ n ={ -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ;3} .
соответствующие корни будут :
  - 7π/8  ; - 3π/8 ;  π/8 ; 5π/8 ; 9π/8 ; 13π/8 .

ответ : x = π/8 +(π/2)*n  , n ∈ Z .  { - 7π/8  ; - 3π/8 ;  π/8 ; 5π/8 ; 9π/8 ; 13π/8 }..

* * * * * * *
!   cos2α =cos²α - sin²α =  1 -2sin²α ⇒  sin²α = (1 -cos2α) /2 .