Рассмотрим плоскость и прямую , заданную точкой и направляющим вектором .
Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:
1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;
2) прямая параллельна плоскости: ;
3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.
Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?
Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:
Прямая пересекает плоскость
Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости.
Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .
В координатах условие запишется следующим образом:
Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: , то прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней:
Прямая параллельна плоскостиПрямая лежит в плоскости
Разграничим данные случаи.
Если прямая параллельна плоскости, то точка (а значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: .
Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой:
Если прямая лежит в плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: .
Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой:
Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без значка системы. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. А тут всё проще:
Пример 1
Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой и направляющим вектором , и плоскости .
Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: .
Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.
Подставим координаты точки в уравнение плоскости:
Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости.
ответ: прямая лежит в плоскости
Пример 2
Выяснить взаимное расположение плоскости и прямой .
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока.
После небольшой разминки мускулатуры начинаем накидывать блины на штангу:
Основные задачи на прямую и плоскость
Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет….
Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример:
Пример 3
Дана прямая и плоскость . Требуется:
а) доказать, что прямая пересекает плоскость;
б) найти точку пересечения прямой и плоскости;
в) через прямую провести плоскость («омега»), перпендикулярную плоскости ;
г) найти проекцию прямой на плоскость ;
д) найти угол между прямой и плоскостью .
НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =)
Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости:
а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор:
Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя:
Вычислим скалярное произведение:
, значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать.
Как найти точку пересечения прямой и плоскости?
б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: . Не «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр:
Как найти точку пересечения прямой и плоскости?
Корни действительны и различны, поэтому решение дифференциального уравнения имеет вид
В нашем случае
ответ: