Question

Какова наименьшая возможная длина апофемы правильной треугольной пирамиды,имеющий объем 1 см^3 ?

Answer 1

Если треугольная пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник.
Площадь правильного треугольника:
$S= \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}$
где а - сторона треугольника.

Объем равен:
$V= \frac{1}{3}*S*h$

Отсюда выражаем высоту h:
$h= \frac{3V}{S}$
подставляем формулу площади треугольника и V=1 см³

$h= \frac{3*1}{ \frac{a^2 \sqrt{3} }{4} }= \frac{12}{a^2 \sqrt{3} } = \frac{4 \sqrt{3} }{a^2}$

Апофему L можно найти по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где катетами являются высота пирамиды h и радиус вписанной окружности r

$L= \sqrt{h^2+r^2}$

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:

$r= \frac{a}{2 \sqrt{3} } \\ \\ L= \sqrt{h^2+r^2}= \sqrt{(\frac{4 \sqrt{3} }{a^2})^2+( \frac{a}{2 \sqrt{3} })^2} = \sqrt{ \frac{48}{a^4} + \frac{a^2}{12} }= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} } \\ \\$

В итоге получилась функция вида:
$L(a)= \sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }$

Чтобы найти наименьшее значение апофемы, то есть наименьшее значение функции L(a), нужно найти точку минимума. Для этого надо взять производную:

$L'(a)= \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{6a^5*12a^4-48a^3(a^6+576)}{144a^8} = \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{72a^9-48a^9-27648a^3}{144a^8}= \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^9-27648a^3}{144a^8} = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{24a^3(a^6-1152)}{144a^8} = \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5}$

Находим ОДЗ производной:
Подкоренное выражение должно быть больше либо равен нулю, но так как корень квадратный стоит в знаменателе, значит Подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
Так как a⁶≥0 и а⁴≥0, значит 
$\frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0 \\$ - при любых а, кроме а=0

Знаменатель не должен равняться нулю, значит
$1) \ a^4 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4} \neq 0 \\ \\ 2) \ a^5 \neq 0; \ =\ \textgreater \ \ a_{1,2,3,4,5} \neq 0$
теперь приравниваем производную к нулю
$\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} * \frac{a^6-1152}{6a^5} =0$

Было сказано, что 
$\frac{ a^6+576}{12a^4}\ \textgreater \ 0$

значит

$\frac{1}{2\sqrt{ \frac{a^6+576}{12a^4} }} \ \textgreater \ 0$

это выражение не имеет корней, поэтому все уравнение можно на него разделить:

$\frac{a^6-1152}{6a^5} =0 \\ \\ a^6-1152=0 \\ \\ a^6=1152 \\ \\ a= ^+_-\sqrt[6]{1152} \\ \\$

Откладываем все корни уравнения и точки из ОДЗ на координатной оси и методом интервалов определяем точки минимума
$---[ - \sqrt[6]{1152} ]+++(0)---[ \sqrt[6]{1152} ]+++\ \textgreater \ a$
получились две точки минимума:

$a=\sqrt[6]{1152} \\ a=- \sqrt[6]{1152}$

Вторая точка точка нам не подходит, так как сторона не может быть отрицательной.

Наконец находим минимальное значении функции, и тем самым наименьшую длину апофемы

 $L(\sqrt[6]{1152} )= \sqrt{ \frac{(\sqrt[6]{1152} )^6+576}{12*(\sqrt[6]{1152} )^4} }= \sqrt{ \frac{1152+576}{12*1152^{ \frac{4}{6} } } }= \sqrt{ \frac{1728}{12*1152^{ \frac{2}{3}} }} = \\ \\ = \sqrt{ \frac{144}{1152^{ \frac{2}{3}} } }= \frac{ \sqrt{144} }{ \sqrt{1152^{ \frac{2}{3} }} }= \frac{12}{1152^{ \frac{1}{3} }} = \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} } \\ \\ OTBET: \ \frac{12}{ \sqrt[3]{1152} }$