Question

Найдите плащадь фигуры предварительно построив график ограниченной линиями y=5x-2xв квадрате и y=0

Answer 1

График во вложении (красный $y=5x-2x^2$, синий $y=0$)

Найдем границы интегрирования:

$\displaystyle 5x-2x^2=0\\\\x(5-2x)=0\\\\x_1=0\\\\5-2x=0 \Rightarrow x_2=2 \frac{1}{2}$

Теперь решаем определенный интеграл:

$\displaystyle \int\limits^{2 \frac{1}{2}} _0 {5x-2x^2} \, dx = \frac{5x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}\Bigg|_0^{2 \frac{1}{2} } = \frac{15x^2-4x^3}{6}\Bigg|_0^{2 \frac{1}{2} } =\left( \frac{93 \frac{3}{4}-62 \frac{1}{2} }{6} \right)-\\\\-\left( \frac{0-0}{6} \right)=\frac{93 \frac{3}{4}-62 \frac{1}{2} }{6}= \frac{31 \frac{1}{4} }{6} =5 \frac{5}{24}$

ответ: Площадь фигуры ограниченной линиями $y=5x-2x^2$ и $y=0$, равна $\displaystyle 5 \frac{5}{24}$ ед².