Даны координаты вершин треугольника: А(-1; 0), В(3; 2), С(5; -2).
Составить:
1) уравнения его сторон.
Находим векторы.
АВ = (3-(-1); 2-0) = (4; 2),
ВС = (5-3; -2-2) = (2; -4),
АС = (5-(-1); -2-0) = (6; -2).
Получаем канонические уравнения сторон.
АВ: (x + 1)/4 = y/2,
BC: (x – 3)/2 = (y – 2)/(-4),
AC: (x + 1)/6 =y/(-2).
Их можно представить в общем виде.
АВ: x – 2y + 1 = 0,
BC: 2x + y – 8 = 0,
AC: x + 3y + 1 = 0.
2) уравнение высоты, опущенной из вершины А.
Это перпендикуляр к стороне ВС. У него коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 меняются по сравнению с ВС на –В и А.
Получаем –x + 2y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А: -1*(-1) + 2*0 + С = 0, отсюда С = -1 - 0 = -1.
ответ: -x + 2y – 1 = 0.
3) уравнение средней линии, параллельной стороне АС.
Находим точку М – середину стороны АВ.
М = (А(-1; 0), В(3; 2))/2 = (1; 1).
Направляющий вектор средней линии равен вектору АС(6; -2).
Получаем уравнение MN:
(x – 1)/6 = (y – 1)/(-2).
Найти:
4) внутренний угол треугольника при вершине В.
Находим векторы ВА и ВС.
ВА = -АВ = (-4; -2), модуль равен √(16 + 4) = √20 = 2√5.
ВС = (2; -4), модуль равен √(4 + 16) = √20 = 2√5.
cos B = (-4*2 + (-2)*(-4)/( 2√5*2√5) = (-8 + 8)/20 = 0.
Угол В = arccos 0 = 90 градусов.
5) расстояние от точки С до противолежащей стороны.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C|
√(A² + B²)
Подставим в формулу данные: АВ: x – 2y + 1 = 0, С(5; -2).
d = |1·5 + (-2)·(-2) + 1| |5 + 4 + 1|
√(1² + (-2)²) = √(1 + 4) =
= 10/√5 = 2√5 ≈ 4.4721.
16с^2-25d^2 = (4c - 5d)(4c + 5d);
b^2-49a^2 = (b - 7a)(b + 7a);
144a^2b^2-289 = (12ab - 17)(12ab + 17);
c^2-100b^2 = (c - 10b)(c + 10b);
a^2b^2c^2-225 = (abc - 15)(abc + 15);
49a^2c^2-196 = 49•(a^2c^2 - 4) = 49•(ac - 2)(ac + 2);
x^8-y^8 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4);
256-81a^4 = (16 - 9a^2)(16 + 9a^2) = (4 - 3a)(4 + 3a)(16 + 9a^2);
625-c^4 = (25 - c^2)(25 + c^2) = (5 - c)(5 + c)(25 + c^2);
Если нет описки в условии, то
29d^2c^2x^2-196 = (√29dcx - 14)(√29dcx + 14);
144a^2-361b^2 = (12a - 19b)(12a + 19b);
36x^2y^2-121 = (6xy - 11)(6xy + 11);
m^2n^2-64 = (mn - 8)(mn + 8);
