Найти наибольшее и наименьшее значения функции y=2x^2-5x-3 в промежутке [0; 4]

👇

Ответ:

forgalaxynexusp09txz

27.01.2023

а) y'=3x²+2x-5

решаем уравнение 3x²+2x-5=0, получаем x=1 или x =-1 2/3. x(max)=-1 2/3, a x(min)=1. функция возрастает на промежутке (-∞;-1 2/3] и[1;∞), функция убывает на промежутке [-1 2/3; 1].

б) Находим значение функции в точках экстремума если они принадлежат промежутку

y(1)=1+1-5-3=-6

И находим в крайних точках отрезка

y(0)=-3

y(4)=64+16-20-3=57

y(наиб)=57

y(наим)=-6

4,8(39 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Ира2806

27.01.2023

Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) меняются на (r, φ, z) по формулам x = r cos(φ - arctg 3/4), y = r sin(φ - arctg 3/4) – арктангенс возник из соображений удобства, чтобы третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.

Первое уравнение:
$4=x^2+y^2=r^2\cos^2(\dots)+r^2\sin^2(\dots)=r^2\\
r=2$

Второе уравнение не меняется.

Третье уравнение:
$z=12-3x-4y=12-3r\cos\left(\varphi-\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac34\right)-4r\sin\left(\varphi-\mathop{\mathrm{arctg}}\dfrac34\right)=\\=12-3r\cdot\dfrac45\cos\varphi-3r\cdot\dfrac35\sin\varphi-4r\cdot\dfrac45\sin\varphi+4r\cdot\dfrac35\cos\varphi=\\=12-5r\sin\varphi$

Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin φ. Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная двумя плоскостями.

Сформулируем условия в виде неравенств.
1 ≤ z ≤ 12 - 5r sin φ
0 ≤ φ ≤ 2π
0 ≤ r ≤ 2

Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr dφ dz, и вычислить интеграл:
$\displaystyle \iiint_VdV=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^2r\,dr\int_1^{12-5r\sin\varphi}dz=\\=\int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^2(11-5r\sin\varphi)r\,dr=2\pi\cdot22=44\pi$

ответ: 44π.

________________________________________

Для самопроверки получим этот ответ без интеграла.
Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая – z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с высотой 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с высотой 22 - 2 = 20.
V = S * (h1 + h2 / 2) = 4π * (1 + 10) = 44π
Стройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями.