Question

Высота bh ромба abcd пересекает диагональ ac в точке o ab=bd . периметр ромба равен 24 см. вычислите длину радиуса окружности описанной около треугольника bod

Answer 1

R = 2√3 см

Пошаговое объяснение:

Смотри прикреплённый рисунок.

Сторона ромба а = Р : 4 = 24 : 4 = 6 (см)

Поскольку меньшая диагональ ромба BD=АВ (стороне ромба), то ΔАВD  равносторонний.

Найдём высоты ВН и АК правильного треугольника АВD

ВН = АК = а · sin 60° = 0.5a√3 = 0.5 · 6 · √3 = 3√3 (см)

Высоты правильного треугольника (они же и медианы) точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника, поэтому ВО = АО = DO = 2/3 · BH = 2/3 · 3√3 = 2√3 (см),

а ОН = ОК = 1/3 · ВН = 1/3 · 3√3 = √3 (cм).

В треугольнике BOD нам известны стороны

ВD = 6cм, ВО = DO = 2√3 см и высота ОК = √3см.

Площадь ΔBOD равна $\displaystyle S_{BOD} = 0.5 \cdot BD \cdot OK = 0.5 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ (см²)

Радиус окружности, описанной вокруг ΔВОD равен

$\displaystyle R = \frac{BO \cdot DO \cdot BD}{4S_{BOD} }= \frac{2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}\cdot 6 }{4\cdot 3\sqrt{3} } = 2\sqrt{3}~(cm)$