Докажем, что сумма этих чисел делится на медиану слагаемых (с показателем степени 1). Для p = 1 это очевидно, но 1 - число не составное. Докажем, что в остальных случаях сумма чисел k^p и (2m - k)^p делится на m (где m - медиана со степенью 1).
k ≡ k (mod m)
2m - k ≡ (-k) (mod m)
k^p + (-k)^p ≡ 0 (mod m) (для нечётного p)
Собрав все числа (кроме медианы) в такие группы получаем, что сумма чисел в каждой из них делится на m. Это означает, что вся сумма делится на m. Так как m меньше m^p, то вся сумма больше m, следовательно, имеет не меньше трёх делителей, что означает, что число составное.
Кстати моя любимая тема:)
Сповнена таємниць і загадок Індія одна з найдавніших країн світу, багато фактів про цю державу здаються неймовірними. Саме з Індії беруть свій початок багато досягнень людства. І зараз історію Стародавньої Індії вивчають численні вчені, причому навіть в наші дні вони регулярно дізнаються про нові факти, покриті темрявою століть.
В Індії з'явилася така популярна сьогодні настільна гра, як шахи, також ця держава є батьківщиною геометрії і алгебри. Хоча сучасні індуси не сильні ні в шахах, ні в точних науках.
Ще в далекі часи жителі Індії робили кристалічний цукор з тростини. Люди що жили в той час дивувалися тому як можна виготовити мед без бджіл, це був штучний мед з цукру.
Індія батьківщина всесвітньо відомого кальяну. Вони навчили курити персів, перси єгиптян, і так поступово про це дізнався весь світ.
Стільки релігій як в Індії, немає ні в однієї цивілізації. В релігії індійська культура не знає собі рівних. З найдавніших часів індуси поклонялися безлічі богів, складали масу легенд та історій про походження людства. Релігія Індії залишила слід у багатьох сучасних віровченнях.
Народ Стародавньої Індії зробив багато для розвитку науки. Величезних успіхів індійські мудреці добилися в математиці, медицині, астрономії, а також в лінгвістиці. Вони знали значення числа "пі", і придумали десяткову систему рахунку, цифри якими ми користуємося, теж їх заслуга. Багато математичних термінів теж придумали жителі Індії. В астрономії вони здогадувалися про обертання землі навколо своєї осі.
Не мало досягнень і в хімії. Стародавні індуси розбиралися в різних металах і сплавах. Вони вміли створювати барвники, скло, коштовності, ароматичні речовини, і навіть отрути.
У Стародавній Індії добре знали анатомію людини. Лікарі знали всі органи людського тіла. Вміли правильно поставити діагноз, і призначити лікування.
Індуси змогли приручити слона. Ці тварини служили для перевезення вантажів, носили колоди. Також вони брали участь в боях, на них сідали воїни, і стріляли по ворогах стрілами, слони затоптували ворогів. Індуси вважали, що слони мають божественне походження, один з їхніх богів був з головою слона. Буйволи служили їм для роботи в полі, а корова вважалася священною твариною, її називали матір'ю і годувальницею. Вбивство корови вважалося гріхом.
Своє житло люди будували вздовж річок, або на краю джунглів. Займалися звичайні індуси вирощуванням пшениці, овочів і ячменю. Вміли вирощувати бавовник, з якого робили пряжу, і виготовляли зручний одяг.
У містах Стародавньої Індії була каналізація. Система каналізації була просто зразковою в ті часи. Вона була зібрана з мережі каналів. Робилося все дуже продумано і ретельно. Канали час від часу прочищали. За містом робили стоки з цегли.
У минулому столітті було зроблено унікальне археологічне відкриття. Біля річки Інд, розкопали величезне місто. Його довжина була 5 км, розділене воно було на 12 частин. Вулиці були рівні й прямі. Будинки побудовані з глини і цегли.
У Стародавній Індії з'явилася хірургія. При цьому операції проводилися не варварськими , а з використанням спеціальних інструментів. Наприклад, індуси в давнину вже вміли видаляти камені з нирок. Настоями з рослин лікувалися серйозні недуги, в той час як інші цивілізації навіть не здогадувалися про такі можливості медицини.
