очевидно при n = 1 не существует графа с 2 ребрами, поэтому n ≥ 2
степень вершины - количество всех ребер, выходящих из вершины deg(v)
сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству всех ребер
т.е. в данном графе сумма степеней вершин
будем доказывать от противного. предположим такого ребра нет.
рассмотрим любые 4 вершины, чтобы среди них не было ребра, которое принадлежит двум циклам длины 3, среди них может быть проведено не более 4 ребер, как бы не проводили пятое, всегда оно дополнит второй цикл.
поэтому сумма степеней всех вершин среди любых четырех не превосходит 4*2 = 8
рассмотрим четверки:
сложим все неравенства и получим, что
4*deg(V) ≤ 16n
deg(V) ≤ 4n
но deg(V) по условию равно 2n² + 2
2n² + 2 ≤ 4n
2(n-1)² ≤ 0
неравенство может выполниться только при n = 1, но как уже было отмечено, этот случай не удовлетворяет по условию.
Значит, наше предположение было не верно.
ответ: доказано.
1)2/9х=5/12
х=5/12:2/9
х=15/8
х=1 целая 7/8
2)4/15у=2/5
у=2/5:4/15
у=3/2
у=1,5
3)3/5х=6
х=6:3/5
х=10
4)7/8у=14
у=14:7/8
у=16
5)3/7х=1 целая4/5
х=1 целая 4/5:3/7
х=21/5
х=4,2
6)9/10y=4 целых1/2
у=4,5:9/10
у=5