F(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a = (x - 1)(x - 2) - |(x - 1)(x - 4)| - a Рассмотрим разные случаи для модуля. При x < 1 под модулем будет (x - 1)(x - 4) > 0 f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a = -3x + 2 + 5x - 4 - a = 2x - 2 - a Это прямая, она пересекает ось абсцисс в точке 2x - 2 - a = 0 x = (2 + a)/2 < 1 2 + a < 2 a < 0 Значит, при a < 0 и x < 1 получится прямая f(x) = 2x - 2 - a Она пересекает ось Ох в точке x1 = (2 + a)/2 = 1 + a/2
При x > 4 под модулем будет (x - 1)(x - 4) > 0 f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a = -3x + 2 + 5x - 4 - a = 2x - 2 - a Это прямая, она пересекает ось абсцисс в точке 2x - 2 - a = 0 x = (2 + a)/2 > 4 2 + a > 8 a > 6 Значит, при a > 6 и x > 4 получится прямая f(x) = 2x - 2 - a Она пересекает ось Ох в точке x2 = (2 + a)/2 = 1 + a/2
Значения a < 0 и a > 6 не пересекаются, значит, из этих двух прямых только одна пересекает ось абсцисс. Это 1 пересечение.
При 1 < x < 4 под модулем будет (x - 1)(x - 4) < 0 f(x) = x^2-3x+2 + (x^2-5x+4) - a = 2x^2-3x-5x+2+4-a = 2x^2 - 8x + 6 - a Это парабола. Если она будет пересекать ось Ох в 2 точках, то всего будет 3 пересечения, что нам и надо. Значит, это уравнение должно иметь 2 корня. 2x^2 - 8x + (6-a) = 0 D = 8^2 - 4*2(6-a) = 64 - 8(6-a) > 0 8 - (6 - a) > 0 2 + a > 0 a > -2
Итак, получили: 1) Прямая f(x) = 2x - 2 - a пересекает ось Ох при a > 0 в точке x < 1 и при a > 6 в точке x > 4 2) Парабола f(x) = 2x^2 - 8x + 6 - a пересекает ось Ох при a > -2 Три точки пересечения будет при a ∈ (-2; 0)
