Question

Плоский угол при вершине правильной четырёхугольной пирамиды равен α.найдите двугранные углы между плоскостью основания и боковой гранью, а также между смежными и боковыми гранями

Answer 1

Пусть АВ=ВC=CD=AD=a

SK-биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника ВSC.
Из прямоугольного треугольника
SBK
SK=a/2tg(α/2);
SB=a/2sin(α/2).
Из прямоугольного треугольника SOK
cos∠SKO=OK/SK=(a/2)/(a/2tg(α/2))  ⇒∠SKO=arccos(tg(α/2)).

Строим линейный угол двугранного угла между плоскостями
SAD  и  ADC.
Проводим СM⊥CD     и    АМ⊥СВ
∠МАС - линейный угол двугранного угла между плоскостями
SAD  и  ADC.
Из прямоугольного треугольника ОМА:
sin∠ОМА=ОА/МА
ОА=asqrt(2)/2
Из прямоугольного треугольника SМА
МА=SA·cosα =(acosα)/(2sin(α/2)).

sin∠ОМА=ОА/МА=(asqrt(2)/2)/(acosα)/(2sin(α/2))=sqrt(2)sin(α/2)/cosα

∠ОМА=arcsin(sqrt(2)sin(α/2)/cosα)
∠DMA=2arcsin(sqrt(2)sin(α/2)/cosα)