Question

найти общее решение дифференциальных уравнений: (y - 1)²dx + (1 - x)³dy = 0 решить коши: sin xdx + dy/√y = 0 ; y(0) = 1 найти общее решение линейного дифференциального уравнения с решением,дабы понять принцип,как это решать

Answer 1

$1)\; \; \; (y-1)^2dx+(1-x)^3dy=0\\\\(y-1)^2dx=-(1-x)^3dy\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \int \frac{dx}{-(1-x)^3} =\int \frac{dy}{(y-1)^2} \\\\-\int (1-x)^{-3}dx=\int (y-1)^{-2}dy\\\\+\frac{(1-x)^{-2}}{-2}=\frac{(y-1)^{-1}}{-1}+C\\\\-\frac{1}{2(1-x)^2}=-\frac{1}{y-1}+C\\\\2)\; \; sinx\cdot dx+\frac{dy}{\sqrt{y}}=0\; ,\; \; \; y(0)=1\\\\\int sinx\cdot dx=-\int \frac{dy}{\sqrt{y}}\\\\-cosx=-2\sqrt{y}+C\; \; \to \; \; \sqrt{y}=\frac{cosx+C}{2}\; ,\\\\y=\frac{1}{4}(cosx+C)^2\; \; -\; \; obshee\; reshenie$

$y(0)=1\; ,\; \; \sqrt1=\frac{cos0+C}{2}\; ,\; \; 2=1+C\; ,\; \; C=1\\\\y=\frac{1}{4}(cosx+1)\; \; -\; \; chastnoe\; reshenie\\\\3)\; \; y'+2xy=xe^{-x^2}\\\\y=uv\; ,\; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+2xuv=xe^{-x^2}\\\\u'v+u(\underbrace {v'+2xv}_{0})=xe^{-x^2}\\\\1)\; \; \frac{dv}{dx}+2xv=0\; ,\; \; \frac{dv}{v}=-2 x\, dx\\\\\int \frac{dv}{v}=-2\int x\, dx\; \; \; \to \; \; lnv=-x^2\; \; \to \; \; v=e^{-x^2}$

$2)\; \; u'\cdot e^{-x^2}=xe^{-x^2}\\\\\frac{du}{dx}=x\; \; \to \; \; \int du=\int x\, dx\; \; \to \; \; u=\frac{x^2}{2}+C$

$3)\; \; y=uv=e^{-x^2}\cdot (\frac{x^2}{2}+C)$