Question

Пpивести к каноническому виду уpавнения линий 2-го поpядка. опpеделить тип линии, основные её параметры, сделать чеpтёж. а) 4х^2+9y^2-16x-18y=0 б)y^2-2x-6y-15=0 !

Answer 1

Ну здесь эти уравнения очень тонко намекают на то, какая у нас линия. Смотри.
а) Вспоминаем уравнение эллипса. В нем есть $x^2 + y^2$ + какие-то множители и единичка. Смотрим на задание. Тоже $x^2 + y^2$! Ну чудесно, теперь можно выполнять алгебраические трюки.
Смотрим еще раз на уравнение. Для удобства можно поменять местами слагаемые: $4x^2-16x+9y^2 - 18y$. Очень похоже на полный квадрат. Прибавляем-вычитаем то, чего не хватает $4x^2-16x+16-16+9y^2 - 18y+9-9 = 0$ и сворачиваем $(2x - 4)^2-16+(3y - 3)^2 -9 = 0$. После нехитрых преобразований $(2x - 4)^2+(3y - 3)^2 = 25$, $4(x - 2)^2+9(y - 1)^2 = 25$, $\frac{4}{25} (x - 2)^2+ \frac{9}{25} (y - 1)^2 = 1.$.Вот тебе и эллипс с $a = \frac{25}{4}$ и $b = \frac{25}{9}$.
б) Смотрим на уравнение. У нас есть $y^2$, но нет $x^2$. Очень, очень похоже на параболу с каноническим видом $y^2 = 2px$. Снова делаем алгебраические трюки, ака преобразования.
$y^2-2x-6y-15=0$, $y^2 - 6y + 9 - 9 - 2x - 15 = 0$, $(y - 3)^2= 2x + 25$, $(y - 3)^2 = 2(x + 12.5)$. Вот и парабола с p = 1. 
И тебе, и мне будет дешевле, если ты просто вобьешь свои уравнения в вольфрам и оттуда срисуешь картинки.