30 б. окружности вписанной в треугольн к abc проведена касательная пересекающая стороны ac и bc в точках pи q.найдите периметр труегольника cpq если ab=22 а периметр треугольника =78
(см. рис.) L, M, N - точки касания. Свойство касательной: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. То есть: (1) PK = PL (2) QM = QK (3) AL = AN (4) BN = BK (5) CL=CK Периметр CPQ = CP+CQ+PQ = CP+CQ+PM+QM = CP+CQ+PL+QK = CL+CK. Так как (5), P(CPQ) = CL+CL = 2CL Периметр ABC = AB+BC+AC BC = CK+BK AC = AL+CL P(ABC) = AB+CK+BK+AL+CL Так как (3) и (4), AL+BK = AN+BN = BC Така как (5), CK+Cl = CL+CL = 2CL P(ABC) = AB+2CL+AB = 2AB+2CL 2AB+2CL = 78 2CL = 78-2AB = 78-2*22 = 78-44 = 34 см.
Пусть искомые двузначные числа А имеют следующую запись ='ab' = 10a+b где а - число десятков, b -число единиц. b больше 1 в b раз ( т.к b/1=b) значит: 'ab'/b=b 'ab'=b^2 10a+b=b^2 b^2-b-10a=0 D=1+40a b1=(1+sqrt(1+40a))/2 b2 =(1-sqrt(1+40a))/2 - не подходит, т.к. выражение меньше 0, а число единиц отрицательным быть не может (т.к. sqrt(1+40a)>1 при всех а от 0 до 9) Значит: b=(1+sqrt(1+40a))/2 т.к. b -целое (по определению), то: (1+sqrt(1+40a))/2 - тоже целое, тогда 1+sqrt(1+40a) - целое, кратное 2, значит sqrt(1+40a) - целое, значит 1+40a -полный квадрат: 1+40а является полным квадратом, только при а =2;3;9 1)a=2; b=(1+sqrt(81))/2=(1+9)/2=5 'ab'=25 2)a=3; b=(1+sqrt(121))/2=(1+11)/2=6 'ab'=36 3)a=9; b=(1+sqrt(361))/2=20/2=10 -не подходит, т.к. 0≤b≤9 ответ: 25, 36
L, M, N - точки касания.
Свойство касательной: отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
То есть:
(1) PK = PL
(2) QM = QK
(3) AL = AN
(4) BN = BK
(5) CL=CK
Периметр CPQ = CP+CQ+PQ = CP+CQ+PM+QM = CP+CQ+PL+QK = CL+CK.
Так как (5), P(CPQ) = CL+CL = 2CL
Периметр ABC = AB+BC+AC
BC = CK+BK
AC = AL+CL
P(ABC) = AB+CK+BK+AL+CL
Так как (3) и (4), AL+BK = AN+BN = BC
Така как (5), CK+Cl = CL+CL = 2CL
P(ABC) = AB+2CL+AB = 2AB+2CL
2AB+2CL = 78
2CL = 78-2AB = 78-2*22 = 78-44 = 34 см.