Question

1) выразить log30 8 через а и b, если а=lg 5, b=lg 3. 2) выразить log350 140 через m и n, если m= log5 2, n=log7 5

Answer 1

1)    $a=\lg5;~~~b=\lg3$

$\log_{30}8=\log_{30}2^3=3\log_{30}2=\dfrac3{\log_230}=\\\\=\dfrac3{\log_2(2\cdot 3\cdot 5)}=\dfrac3{1+\log_23+\log_25}=\\\\\\=\dfrac3{1+\dfrac{\lg3}{\lg2}+\dfrac{\lg5}{\lg2}}=\dfrac3{\dfrac{\lg2}{\lg2}+\dfrac{\lg3}{\lg2}+\dfrac{\lg5}{\lg2}}=$

$=\dfrac{3\lg2}{{\lg2}+\lg3+\lg5}=\dfrac{3\lg\frac{10}5}{{\lg\frac{10}5}+\lg3+\lg5}=\\\\\\=\dfrac{3\big(\lg10-\lg5\big)}{{\lg10-\lg5}+\lg3+\lg5}=\dfrac{3\big(1-\lg5\big)}{1+\lg3}\\\\\\\boxed{\bold{\log_{30}8=\dfrac{3\big(1-a\big)}{1+b}}}$

=================================

$2)~~m=\log_52;~~~~n=\log_75$

$\log_{350}140=\dfrac{\log_7140}{\log_7350}=\dfrac{\log_7\big(2^2\cdot5\cdot 7\big)}{\log_7\big(2\cdot5^2\cdot7\big)}=\\\\\\=\dfrac{2\log_72+\log_75+1}{\log_72+2\log_75+1}=\dfrac{\dfrac{2\log_52}{\log_57}+\log_75+1}{\dfrac{\log_52}{\log_57}+2\log_75+1}=\\\\\\=\dfrac{2\log_52\cdot\log_75+\log_75+1}{\log_52\cdot\log_75+2\log_75+1}$

$\boxed{\bold{\log_{350}140=\dfrac{2mn+n+1}{mn+2n+1}}}$

======================================

Использованы формулы

$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac;\ \ \ b,c0\\\\\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac;\ \ \ b,c0\\\\\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \log_ab=\dfrac1{\log_ba}\\\\\log_ab^n=n\log_ab;\ \ \ b0\\\\\log_aa=1$