ПРИМЕР. В задачах даны координаты точек A,B,C. Требуется: 1) записать векторы AB и AC в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами AB и AC.
Решение.
1) Координаты векторов в системе орт. Координаты векторов находим по формуле:
X=xj-xi; Y=yj-yi
здесь X, Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB: X=x2-x1=12-7=5; Y=y2-y1=-1-(-4)=3
AB(5;3), AC(3;5), BC(-2;2)
2) Длина сторон треугольника. Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:
3) Угол между прямыми. Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:
где a1a2=X1X2+Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC
γ = arccos(0.88) = 28.070
8) Уравнение прямой. Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой AB. Каноническое уравнение прямой:
или
y=3/5x-41/5 или 5y-3x+41=0
Тогда, если турист будет проходить в день на два километра меньше, то на это ему потребуется 72/(x-2) дня
Что на 6 дней больше, если б он шел с прежней скоростью.
То есть 72/(x-2) = 72/x + 6
72/(x-2) = (72 + 6x)/x
72x - (72 + 6x)(x - 2) = 0;
72x - 72x + 144 - 6x² + 12x = 0
-6x² + 12x + 144 = 0
D = 144 + 4*6*144 = 3600
x₁ = (-12+60)/-12 = -4
x₂ = (-12-60)/-12 = 6
Исходя из условия задачи x₁ = -4 не подходит, значит x = 6
x - кол-во километров, которые турист проходил за день.
ответ: 6 км/день