Question

Добрые люди, решить уравнения по , ! общее решение дифференциального уравнения у"-16=0 общее решение дифференциального уравнения у"-12=0

Answer 1

Функция у заменяется таким образом
$y=e^{kx}$
находится нужная производная этой замены
$y''=k^2e^{kx}$
уравнение преобразуется к виду
$k^2-16=0$ - характеристическое уравнение
найдем корни этого уравнения
$(k-4)(k+4)=0$
$k_1=4;k_2=-4$
получились различные действительные корни
в этом случае общее решение д.у. имеет вид
$y=C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}$

В случае с у"-12=0 происходит все то же самое, только корни характеристического уравнения другие

$k^2-12=0$
$(k-2 \sqrt{3} )(k+2 \sqrt{3} )=0$
$k_1=2 \sqrt{3};k_2=-2 \sqrt{3}$

$y=C_1e^{2 \sqrt{3}x}+C_2e^{-2 \sqrt{3}x}$