Question

1.найти производную у=sin^3(4x+5) в точке -1 2.в каких точках надо провести касательные к графику функции ф(х)=2x^3+3x^2 так, чтобы эти касательные были параллельны прямой у=36х+7

Answer 1

$y'=(\sin^3(4x+3))'=12\cos(4x+3)\sin^2(4x+3)$
Вычислим производную в точке -1
$y'(-1)=12\cdot\cos(-4+3)\sin^2(-4+3)=12\cdot \cos1\sin^21=$

Угловой коэффициент касательной должен равен угловому коэффициенту заданной прямой:
$k=36$ и по определению: $k=tg'(a)$, где $a$ - число.

Вычислим производную функции:
$f'(x)=(2x^3+3x^2)'=6x^2+6x$ Учитывая $x=a$, имеем:

$f'(a)=6a^2+6a\\ 36=6a^2+6a|:6\\ 6=a^2+a\\ a^2+a-6=0$
По т. Виета: $a_1=2;\,\,\,\, a_2=-3$
Итак, мы имеем 2 касательные, абсцисса одна в точке $2$ и другая в точке $-3$

$f(2)=2\cdot2^3+3\cdot2^2=2^2(4+3)=4\cdot7=28\\ f(-3)=2\cdot(-3)^3+3\cdot(-3)^2=9(-6+3)=-27$

$f'(a_1)=f'(a_2)=36$

По формуле касательной: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Подставим и получаем касательные:
$y_1=28+36(x-2)=28+36x-72=\boxed{36x-44}\\ \\ y_2=-27+36(x+3)=-27+36x+108=\boxed{36x+81}$

В точках $x=2$ и $x=-3$

Answer 2

1. - самостоятельно.
2 Касательные к графику функции - Y = 2*x³ + 3*x²
Производная в точке касания -  коэффициент - k - наклона прямой.
Производная.
Y'(x) = 6*x² + 6*x
Параллельно прямой - Y = 36*x+7 = k*x+b.
Решаем  квадратное уравнение. -  Y(x) = 36
После сокращения на 6 получаем
x² + x - 6 = 0
Решаем - D = 25,  √25 = 5 и получаем координаты точек по оси Х.
Ах = -3 и Вх = 2.
Вычисляем координату по оси У.
Ay = Y(-3) = 2*(-27)+ 3*9 = - 54+81 = 27
By= Y(2)= 2*8+3*4 =16+12 = 28
ОТВЕТ: А(-3;27)  и В(2;28)