Question

Исследовать функцию с производной и построить ее график f(x)=2x^3-9x^2

Answer 1

Исследуйте функцию и постройте ее график y= 2x³ - 9x². 
1.Область определения функции D(f)  =   (-∞; ∞).
2. Определяем точки пересечения графики функции с координатными осями 
a) c осью абсцисс : y =0   ⇒  2x³ - 9x²  = 0 , 
x²(2х - 9) = 0 ;
Имеем 2 корня: х = 0  и х = 9/2 = 4,5.
A(0 ;0) ; B(4,5 ;0).
b) с осью ординат:  x =0   ⇒ y = 0  → А(0 ;04).
3.Определяем интервалы монотонности функции 
Функция возрастает (↑), если у ' >0, убывает(↓) , если у ' < 0.
y ' =6x² - 18x  =6x(x-3) ; 
y '    +                     -                      +
 0  3
y     ↑      max         ↓          min         ↑

x =0 точка максимума _ мах (у) = 0
x =3 точка минимума _ min (у) = 2*3³ - 9*3²  = 54 - 81 = -27. 
Функция возрастает , если x ∈(-∞ ; 0) и  x ∈(3 ;∞ ),  
убывает ,если  x ∈ (0 ;3 ).
---
4)
определим точки перегиба , интервалы  выпуклости и вогнутости
y '' = (y ') '  =(6x² -18x) ' = 12x - 18 = 6(2x -3).
y '' =0 ⇒   x=3/2 =1,5 (единственная точка перегиба)
График функции  выпуклая , если   y ''< 0 , т.е.  если x < 1,5, 
вогнутая, если  y '' >0 ⇔ x > 1,5.

5. Lim y  → - ∞    ;     Lim y  →  ∞
   x→ - ∞                      x→ ∞