Question

Решить дифференциальные уравнения y'*√(1-x^2 ) = 1+y^2 (x^2-1)*y^'+2xy^2=0 y^'=(2x+y)/2x

Answer 1

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделяем переменные (y'=dy/dx), интегрируем.
$y' \sqrt{1-x^2} =1+y^2,\\\\ \int\frac{dy}{1+y^2} = \int\frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} } ,\\\\ arctg(y)=arcsin(x)+C, y=tg(arcsin(x)+C)$
2. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
$(x^2-1)y'+2xy^2=0,\\\\ \int\frac{dy}{y^2} = -2\int\frac{xdx}{(x^2-1)} ,\\ -\frac{1}{y}=- ln(x^2-1)+C,\text{ }y= \frac{1}{ln(x^2-1)-C}$
3. Обыкновенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Преобразуем уравнение:
$y'= \frac{(2x+y)}{2x}|/x,\text{ }y'= \frac{2+ \frac{y}{x} }{2}$
И сделаем замену переменной:
$z= \frac{y}{x},\text{ }y=zx,\text{ }y'=z+z'x$
Подставляем в исходное уравнение, разделяем перменные и интегрируем:
$\frac{dz}{dx}x+z= \frac{2+z}{2} ,\text{ }\int \frac{dz}{2-z} =\int \frac{dx}{2x},\\\\ -ln(2-z)= \frac{ln(x)}{2}+ln(C) ,[z=\frac{y}{x}],-ln(2-\frac{y}{x})=\frac{ln(x)}{2}+ln(C),\\\\ y=2x+C\sqrt{x}$