Question

Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0. x^2+z^2-4y^2=-2xy , m0(2, 2, -1)

Answer 1

$f(x,y,z)=x^2+z^2-4y^2+2xy$
Эта функция задана в неявном виде.

Вычислим частные производные функции.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =- \frac{ \frac{\partial f}{\partial x} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } =- \frac{2x+2y}{2z} =- \frac{x+y}{z} \\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y} =- \frac{ \frac{\partial f}{\partial y} }{ \frac{\partial f}{\partial z} } = -\frac{-8y+2x}{2z} = \frac{4y-x}{z}$

Значения частных производных в заданной точке.
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} (2;2;-1)=- \frac{2+2}{-1} =4\\ \\ \\ \frac{\partial z}{\partial y}(2;2;-1)= \frac{4\cdot 2-2}{-1} =-6$

Уравнение касательной в общем виде:
$z-z_0=f'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)$

$z+1=4(x-2)-6(y-2)\\ \\ -4x+6y+z-3=0$

Найдем теперь уравнение нормали касательной.
Канонический вид уравнения нормали: $\displaystyle \frac{x-x_0}{f'_x(x_0,y_0,z_0)} = \frac{y-y_0}{f'_y(x_0,y_0,z_0)} = \frac{z-z_0}{-1}$

В нашем случае:

$\displaystyle \frac{x-2}{4} = \frac{y-2}{-6} = \frac{z+1}{-1}$