Question

Дима написал на доске семь последовательных чисел потом некоторые из них он умножил на 2 остальные на 3 какое наименьшее количество различных результатов они могут получить

Answer 1

Пусть наши последовательные числа:
$a,\,a+1,\,a+2,\,...\,,\,a+6$
Интерпретируя условие, нам надо получить наибольшее число значений k и m таких, что
$2(a+k)=3(a+m),\,k,m\in\mathbb{Z}\cap[0;6]$
Заметим, что если мы уже выбрали для некоторых k и m множители 2 и 3, то какой бы из множителей 2 и 3 для оставшихся 5 чисел мы не выбрали, ни одно из полученных 5 произведений не равно какому-либо из первых 2. Действительно. Предположим, что существует такое целое l, что верно одно из следующих равенств:
$2(a+k)=2(a+l)\\2(a+k)=3(a+l)\\3(a+m)=2(a+l)\\3(a+m)=3(a+l)$
Мы сразу же получим, что для первого случая k=l, для второго l=m, для третьего l=k и для четвертого l=m.
То есть совпасть могут не более 2 результатов (одновременно, несколько пар возможно).
Найдем наибольшее количество таких пар.
Заметим, что 
$3(a+m)$
кратно 3, а
$2(a+k)$
кратно 2.
Они равны, значит $a+m$ кратно 2, а $a+k$ кратно 3. Смотрим, какого максимальное количество среди наших 7, чисел кратных 3. Получим 3 (а именно a, a+3, a+6, если a не делится на 3, то их будет ровно 2)
Предположим, что их три. Тогда
$2a=3a+3k_1$
Тогда:
${2a}=3(a+k_1)\\{2(a+3)}=3(a+k_1+2)\\{2(a+6)}=3(a+k_1+4)$
Это наши 3 равенства, составленные для наших 3 пар равных чисел. Но одно из чисел a+k, a+k+2, a+k+4 делится на 3, значит это число уже стоит в одном из числителей в левой части. Но, как замечалось ранее, в двух сразу оно стоять не может. То есть либо это число идет с множителем 2 и стоит в левой части одного из равенств, либо с множителем 3 в правой части одного из равенств.
Значит пар одинаковых результатов не более 2. А на это можно привести пример:
Возьмем числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Умножим первое на 3, второе на 2, третье на 3 и пятое на 2, а остальные - как угодно. На количество равных это не повлияет. Получим:
$6, 6, 12,q_1,12,q_2,q_3$
Таким образом минимальное количество различных 5.

ответ: 5