Question

Вкаждой клеточки доски 6х6 есть по лампе. будем говорить, что 2 лампы - соседние, если их клеточки имеют общую сторону. сначала зажглись первые несколько ламп. после этого через минуту загорелись все лампы, у которых уже горели двое (или больше) соседей. еще через минуту зажглись новые лампы, у которых уже горят две соседние, и так далее. какое самое маленькое число ламп должно загореться в самом начале, чтобы в какой-то момент оказалось, что все лампы на доске включены? заранее (а)4 (б)5 (в)6 (г)7 (д)8

Answer 1

В самом начале должно загореться 6 ламп, причем они должны быть расположены особым образом. Например, по диагонали.
Доказать это можно так.
Как только мы получим квадрат или прямоугольник из горящих ламп, на этом всё кончится. Больше ни одной лампы не загорится.
Потому что у каждой клетки с НЕ ГОРЯЩЕЙ лампой не больше 1 соседа с ГОРЯЩЕЙ лампой.
Обведем контуром все клетки с горящими лампами.
Когда загораются новые лампы, то периметр обведенной области не увеличивается. Или остается, или уменьшается. Это видно на рисунке.
Если сначала горят только 5 ламп, то максимальный периметр равен 5*4 = 20. Это периметр квадрата 5х5. Как только дойдет до квадрата, всё кончится, об этом я уже говорил.
Чтобы покрыть весь квадрат 6х6, нужно не меньше 6 горящих ламп.