Question

Y=2x^3-3x^2-12x+11 1)найти область определения функции d(y) 2) проверит на четность, нечётность; периодичность 3) найти точки пересечения графика с осями координат 4) критические точки функции, точки экстремума, промежутки мотоности 5) промежутки выпуклости, вогнутости графика функции точки перегиба 6) построить график функции

Answer 1

Дана функция у = 2x³ - 3x² - 12x + 11.
1)Найти область определения функции D(y) - нет ограничений; -∞ < x< ∞.
2) Проверить на четность, нечётность; периодичность. 
Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
- 12 x + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 11 = - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 12 x + 11
- Нет
- 12 x + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 11 = - -1 \cdot 2 x^{3} - - 3 x^{2} - 12 x - 11
- Нет
значит, функция не является ни чётной ни нечётной.
3) найти точки пересечения графика с осями координат 
График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: - 12 x + 2 x³ - 3 x² + 11 = 0.
Решаем это уравнение вида ах³+bх²+сх+d=0  заменой х=у-(в/3а), чтобы привести исходное уравнение к каноническому виду у³+зу+q=0  , где числом p выступает выражение p=(3ac-b²)/3a²  , а q заменит трехчлен q=(2b³-9abc+27a²d)/27a³.
Точки пересечения с осью X:
x1 = 2.91186932437,
x2 = 0.839110570684,
x3 = -2.25097989506.
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в 2x³- 3х² - 12x + 11.
 0³ - 0 - 0 + 11
Результат: у = 11.
Точка: (0, 11).
4) Критические точки функции, точки экстремума, промежутки монотоности.
Находим производную и приравниваем её нулю:
y' = 6x²-6x-12 = 0  или х²-х-2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-1)^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√9-(-1))/(2*1)=(3-(-1))/2=(3+1)/2=4/2=2;x₂=(-√9-(-1))/(2*1)=(-3-(-1))/2=(-3+1)/2=-2/2=-1.
Определяем знаки производной вблизи найденных точек.
х =    -2    -1      0      1     2     3
y' =   24    0    -12    -12    0    24.
Производная меняет знак с + на - это максимум функции (точка х=-1; у=18), если с - на + это минимум (точка х = 2, у=-9).
Убывает на промежутках (-oo, -1] U [2, oo),
Возрастает на промежутках [-1, 2].
5) Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции точки перегиба.
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: 
\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x \right )} = 0.
Вторая производная 6(2 x - 1 = 0.
Корни этого уравнения x_1 =1/2.
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов.
Если функции f(x) имеет на интервале (а, b) вторую производную и f ´´(x) < 0 ( f ´´(x) > 0) во всех точках интервала, то график функции имеет на (а, b) выпуклость, направленную вверх (вниз). 
Вогнутая на промежутке [1/2, oo),
Выпуклая на промежутке (-oo, 1/2].
6) Построить график функции - он дан в приложении.