Відомі вершини трикутника A(1; 1), B(5; 7), C(-2; 3).
1) Знайти довжину сторони АВ.
Длина АВ = √(5-1)² + (7-1)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
2) Рівняння сторони АВ.
Вектор АВ = ((5-1); (7-1)) = (4; 6).
Уравнение АВ: (x – 1)/4 = (y – 1)/6 каноническое.
6x – 4y – 2 = 0 общее, или, сократив на 2:
3x – 2y – 1 = 0.
3) Довжину медіани ВМ та її рівняння.
Точка М = (A(1; 1 + C(-2; 3))/2 = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = (-0,5-5; 2-7) = (-5,5; -5).
Длина ВМ = √((-5,5)² + (-5)²) = √(30,25 + 25) = √55,25 ≈ 7,43303.
Уравнение BM: (x – 5)/(-5,5) = (y – 7)/(-5) каноническое.
-5x + 5,5y – 13,5 = 0 общее, или, умножив на -2:
10x - 11y + 27 = 0.
4) Величину кута ВАС.
Вектор АВ найден и равен (4; 6),
его модуль = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
Находим вектор АС. Точки A(1; 1), C(-2; 3).
АС= ((-2-1); (3-1)) = (-3; 2), модуль = √((-3)² +2²) = √(9 + 4) = √13.
cos BAC = (4*(-3) + 6*2)/( 2√13*√13) = 0/52 = 0.
Угол ВАС равен arccos 0 = 90 градусов.
5) Довжину висоти ВD та її рівняння. Точка B(5; 7).
Уравнение высоты BD.
Она перпендикулярна стороне AС.
Вектор AС найден и равен (-3; 2).
Для прямой BD он будет нормальным вектором.
Уравнение BD: -3*(x - 5) + 2*(y - 7) = 0,
-3x + 15 + 2y - 14 = 0, умножим на -1:
3x - 2y - 1 = 0.
Длину BD находим по формуле высоты:
h = 2S/AC = 2*13/√13 = 2√13 ≈ 7,2111.
Величина площади найдена в пункте 7.
6) Координати точки Р перетину медіан трикутника.
Они находятся как среднеарифметическое координат вершин треугольника.
Р = A(1; 1) + B(5; 7) + C(-2; 3))/3 = ((1+5-2)/3; (1+7+3)/3) = ((4/3); (11/3)).
7) Площу трикутника АВС.
Площадь треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S=±(1/2)∣x1−x3 y1−y3∣
∣x2−x3 y2−y3∣ Точки A(1; 1), B(5; 7), C(-2; 3).
S = (1/2)|1 - (-2) 1 - 3|
|5 - (-2) 7 – 3| = (1/2)*(3*4 – (-2)*7) = 13.
