Question

Integral (from 0 to infinity) [ exp(-x)*x^n ] (n is {0, 1, 2, })

Answer 1

$\\$$ \int_{0}^{+\infty} x^n*e^{-x}{\mathrm{d}x}=\left [ u=x^n, {\mathrm{d}u}=nx^{n-1}{\mathrm{d}x}, {\mathrm{d}v}=e^{-x}{\mathrm{d}x}, v=-e^{-x} \right ]=\left \langle u*v-\int vdu \right \rangle= -x^n*e^{-x}|_{0}^{+\infty}+n\int_{0}^{+\infty}x^{n-1}e^{-x}{\mathrm{d}x}=...=n! $$$Интегрировать по частям нужно до тех пор, пока переменная х в интеграле не будет равна 1,потом под интегралом останется только e^(-x). В конце получается, что интеграл будет равен степени х.
Пример при n=2:
$\\$$ \int_{0}^{+\infty} x^2*e^{-x}{\mathrm{d}x}=\left [ u=x^2, {\mathrm{d}u}=2x{\mathrm{d}x}, {\mathrm{d}v}=e^{-x}{\mathrm{d}x}, v=-e^{-x} \right ]= -x^2*e^{-x}|_{0}^{+\infty}+2\int_{0}^{+\infty}xe^{-x}{\mathrm{d}x}=\left [ u=x, {\mathrm{d}u}={\mathrm{d}x}, {\mathrm{d}v}=e^{-x}{\mathrm{d}x}, v=-e^{-x} \right ]=-\lim_{x\rightarrow +\infty}x^2*e^{-x}+2\left ( -xe^{-x}+\int_{0}^{+\infty}e^{-x}{\mathrm{d}x} \right )=0+2*\left ( -\lim_{x\rightarrow +\infty}x*e^{-x} \right-\int_{0}^{+\infty}e^{-x}{\mathrm{d}(-x)})=2*0-2*(-\lim_{x\rightarrow +\infty}e^{-x}-1)=-2*(0-1)=2 $$$