Question

Число 8 представили в виде суммы трёх положительных слагаемых так, что первое относится ко второму как 1: 2. найдите наименьшее значение суммы кубов первого и второго слагаемого с третьим слагаемым умноженным на 9.

Answer 1

Пусть х - первое число, тогда 2х - второе и (8-х-2х) =(8-3х) -третье число
составим функцию  суммы кубов первого и второго слагаемого с третьим слагаемым умноженным на 9.
у(х) = х³ +(2х)³ + 9(8-3х)
у(х) = 9х³-27х +72
найдем производную
у'(х) = (9х³-27х +72)' = 27х²-27
у'(x) =0 ⇒ 27x²-27=0 ⇒ 27(x²-1)=0 ⇒x² =0 ⇒ x= 1  и x= -1( не подходит)
        -         +
1     у'(1) - точка минимума

значит при х=1   у(х) - принимает наименьшее значение
у(х) = 9*1-27*1 +72 = 54 - наименьшее значение суммы кубов первого и второго слагаемого с третьим слагаемым умноженным на 9

Answer 2

Пусть х- первое число, у- второе, z- третье
По условию первое относится ко второму как 1:2, т. е. х: у=1:2 или у=2х
По условию сумма трёх положительных слагаемых равна 8, т. е
z=8-х-у=18-х-2х=8-3х
По условию сумма куба первого и квадратов второго и третьего равная
х³+у³+9z=х³+(2х)³+9(8-3х) =х³+8х³+72-27х = 9х³+72-27х принимает наименьшее значение.
Найдем производную, для нахождения наименьшего значения
f'(х) =( 9х³-27х+72)'= (9х³)'-(27х)'+ (72)'=3*9х²- 27*1 +0= 27х² -27
27х²-27=0
27(х²-1)=0
х²-1=0
(х-1)(x+1)=0
x-1=0    x+1=0
х1 =1 
х2= -1 ( не рассматриваем, т. к. по условию суммы трёх положительных слагаемых) , т. к. имея корни уравнения, запишем в виде произведения множителей для простоты вычислений (x-1)(x+1)
-1-1+→Х

f'(0)= (0-1)(0+1)= -1<0  
f'(2)= (2-1)(2+1)=3>0
Т. к. производная функции меняет в точке х=1 знак с – на+ это точка минимума, функция в ней принимает минимальное значение, что и требовалось найти
Отсюда х=1, тогда у=2х=2*1=2, z=8-3х=8-3*1=5 
ответ: 8 можно представить в виде суммы трёх положительных слагаемых 1;2 и 5, что первое относится ко второму как 1:2