Question

Антон поставил стрелку будильника на 6 часов утра, но проснулся немного раньше (после 5 часов) и заметил, что часовая стрелка делит угол между стрелкой будильника и минутной стрелкой пополам. когда проснулся антон.

Answer 1

За 1 час или 60 минут минутная стрелка совершает полный оборот по циферблату,т.е. оборот на 360°. Тогда пол оборота по циферблату  - оборот на 180°. 
Пройденный угол минутной стрелки:
$\frac{x}{60}*360к=x*6к$
т.е. каждая пройденная минута смещает минутную стрелку на 6°

Пройденный угол часовой стрелки:
$\frac{y}{12} *360к=30к*y$
т.е. каждый пройденный час смещает часовую стрелку на 30°

По условию время между 5ч и 6ч, значит
$(5+ \frac{x}{60} )*30к-$ угол, пройденный часовой стрелкой
$x*6к-$ угол, пройденный минутной стрелкой
$((5+ \frac{x}{60})*30к-x*6к) -$ угол между  часовой и минутной стрелками

Фиксированная стрелка будильника поставлена  на 6 часов.
Выразим угол между фиксированной  и часовой стрелками будильника:
$180к-(5+ \frac{x}{60} )*30к$

По условию часовая стрелка делит угол между фиксированной стрелкой будильника и минутной пополам,т.е. углы равны.
Решим уравнение:
$(5+ \frac{x}{60})*30к-x*6к =180к-(5+ \frac{x}{60})*30к$
$150к+ (0,5x)к-x*6к =180к-(150к+(0,5x)к)$
$150к-(5,5x)к =180к-150к-(0,5x)к$
$150к-(5,5x)к =30к-(0,5x)к$
$(5x)к =120к$
$x=24$ (мин)

ответ: в  5 часов 24 минуты