ДАНО:Y(x) = x³ -9*x + 9
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения D(y) ∈ R, Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.
2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.
3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.
k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.
4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.
5. Пересечение с осью OХ.
Разложим многочлен на множители. Y=(x--3,41)*(x-1,18)*(x-2,23)
(по теореме Виета - без решения)
Нули функции: Х₁ =-3,41, Х₂ =1,18, Х₃ =2,23
6. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-3,41]U[1,18;2,23]
Положительная -Y(x)>0 X∈[-3,41;1,18]U[2,23;+∞)
7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 9
8. Исследование на чётность.
В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.
Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x), Функция ни чётная, ни нечётная.
9. Первая производная. Y'(x) = 3*x² -9 = 3*(x²-3²) = 0
Корни Y'(x)=0. Х₄ = -√3 (-1,73) Х₅= √3 (1,73)
Производная отрицательна между корнями - функция убывает.
10. Локальные экстремумы.
Максимум - Ymax(-√3) =19,39. Минимум - Ymin(√3) =-1,39
11. Интервалы возрастания и убывания.
Возрастает Х∈(-∞;-√3]U[√3;+∞) , убывает - Х∈[-√3;√3]
12. Вторая производная - Y"(x) = 6*x = 0
Корень производной - точка перегиба Х₆=0
13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]
Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).
14. График в приложении.
1)x=Re,y>=0
2)y=0->x=0
3)y(-x)=x^2e^x-ни четная, ни нечетная
4) непериодическая
5)y'=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)*(2-x)
x<0->y'<0->y убывает
x=o->y'=0->y=0-минимум
0<x<2->y'>0-> y возрастает
х=2->y'=0->y=4e^(-2)-максимум
x>2->y'<0->y убывает
5)y"=2e^(-x)-2xe^(-x)-2xe^9-x)+x^2e^(-x)=e^(-x)*(2-4x+x^2)
x<2-V2->y">0-y -вогнута
x=2-V2-y"=0-перегиб
2-V2<x<2+v2->x<0-выпукла
x=2+V2->y"=0->перегиб
x>2+V2->y">0-вогнута
6)Асимптоты:
Вертикальных нет
Наклонные:
k=lim(x->беск.) y/x=lim xe^(-x)=0
b=lim(x->беск.) (y-kx)=limx^2*e^(-x)=0