Question

Решить 4^x-9+(11*4^x-52)/(16^x-7*4^x+10) = 1/(4^x-5 )

Answer 1

Замена 4^x = y > 0 при любом x, тогда 16^x = y^2
y - 9 + (11y - 52)/(y^2 - 7y + 10) = 1/(y - 5)
Общий знаменатель y^2 - 7y + 10 = (y - 2)(y - 5)
(y - 9)(y^2 - 7y + 10) + (11y - 52) = (y - 2)
y^3 - 9y^2 - 7y^2 + 63y + 10y - 90 + 11y - 52 - y + 2 = 0
y^3 - 16y^2 + 83y - 140 = 0
Здесь можно воспользоваться схемой Горнера.
Возможные корни: 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140.
y | 1 | -16 | 83 | -140
1 | 1 | -15 | 68 | -72
2 | 1 | -14 | 55 | -30
4 | 1 | -12 | 35 | 0
y1 = 4^x = 4; x1 = 1
y^2 - 12y + 35 = 0
(y - 5)(y - 7) = 0
y2 = 4^x = 5; x2 = log4 (5)
y3 = 4^x = 7; x3 = log4 (7)

Если схема Горнера не нравится, можно решить разложением на множители.
y^3 - 16y^2 + 83y - 140 = 0
y^3 - 4y^2 - 12y^2 + 48y + 35y - 140 = 0
(y - 4)(y^2 - 12y + 35) = 0
(y - 4)(y - 5)(y - 7) = 0
Получаем тоже самое.

Answer 2

$4^x-9+ \frac{11*4^x-52}{16^x-7*4^x+10} = \frac{1}{4^x-5}$

Замена: $4^x=a,$ $a\ \textgreater \ 0$
$a-9+ \frac{11a-52}{a^2-7a+10} = \frac{1}{a-5}$
$\frac{(a-9)(a^2-7a+10)+11a-52}{a^2-7a+10} = \frac{1}{a-5}$
$\frac{(a-9)(a^2-7a+10)+11a-52}{(a-5)(a-2)} = \frac{a-2}{(a-5)(a-2)}$
ОДЗ:
$a-5 \neq 0$
$a \neq 5$
$a^2-7a+10 \neq 0$
$D=(-7)^2-4*1*10=9$
$a_1 \neq 5$
$a_2 \neq 2$
$a^2-7a+10=(a-5)(a-2)$

$(a-9)(a^2-7a+10)+11a-52=a-2$
$a^3-7a^2+10a-9a^2+63a-90+11a-52-a+2=0$
$a^3-16a^2+83a-140=0$
$a^3-12a^2-4a^2+35a+48a-140=0$
$(a^3-4a^2)+(48a-12a^2)+(35a-140)=0$
$a^2(a-4)+12a(4-a)+35(a-4)=0$
$a^2(a-4)-12a(a-4)+35(a-4)=0$
$(a-4)(a^2-12a+35)=0$
$a^2-12a+35=0$                    или       $a-4=0$
$D=(-12)^2-4*1*35=4$     или      $a=4$
$a_1= \frac{12+2}{2}=7$
$a_2= \frac{12-2}{2}=5$  ∅

$4^x=7$            или     $4^x=4^1$
$4^x=4^{log_47}$     или     $x=1$
$x=log_47$

ответ: $log_47;$  $1$