Объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b), Осью Ox и прямыми x= a и x = b, вычисляется по формуле:
Аналогично, объем фигуры, образованной в результате вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = φ(x) (c ≤ x ≤ d), Осью Ox и прямыми y= c и y = d, находится по формуле:
ПРИМЕР №1. Вычислить объемы фигур, образованных вращением площадей, ограниченных указанными линиями.
y2 = 4x; y = 0; x = 4.
Пределы интегрирования a = 0, b = 4.
ПРИМЕР №2. y2 = 4x; y = x
Выполним построение фигуры. Решим систему:
y2 = 4x
y = x
найдем точки пересечения параболы и прямой: O(0;0), A(4;4).
Следовательно, пределы интегрирования a = 0; b = 4. Искомый объем представляет собой разность объема V1 параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x , и о объема V2 конуса, образованного вращением прямой y = x:
V = V1 – V2 = 32π – 64/3 π = 32/3 π
см. также как вычислить интеграл онлайн
ПРИМЕР №3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной прямой y=x и параболой .
Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим x1=0, x2=1.
Рис. 2. Объем тела вращения.
Объем тела может быть вычислен по формуле , где
, f2(x)=x.
.
ответ: .
см. также Площадь фигуры, ограниченной линиями: Площадь фигуры, ограниченной линиями
в первый день Маша прочитала 36% книги, во второй пять восьмых остатка, после чего осталось прочитать 48 страниц. Сколько страниц в книги
Решение
Примем
36%=36/100
а - прочитала Маша за первый день
в - прочитала Маша за второй день
с - вся книга
тогда
а+в+48=с
а=с*(36/100)
в=(с-а)*(5/8)=(с-с*(36/100))*5/8=с*(5/8)-с*(36/160)
с-с*(36/100)-с*(5/8)+с*(36/160)=48
с*(1-(36/100)-(5/8)+(36/160))=48
с=48/(1-(36/100)-(5/8)+(36/160))
с=48/(24/100)
с=200
Проверим:
а=200*(36/100)=72
в=200*(5/8)-200*(36/160)=80
72+80+48=200
200=200
ответ: в книге 200 страниц