Question

(3x^2y+y^3)dx+(x^3+3xy^2)dy=0 найти частный интегралy y(1)= 1

Answer 1

Рассмотрите такое решение:
1. $P''_{xy}=(3 x^{2} y+ y^3)'_y=3 x^{2} +3 y^{2} ; R''_{yx}=(x^3+3xy^2)'_x=3x^2+3y^2.$
Значит, это ДУ - ДУ в полных дифференциалах. 
$\frac{dF}{dx}=3x^2y+y^3; \frac{dF}{dy} =x^3+3xy^2$
2. $F= \int\ {(3x^2y+y^3)}\,dx =x^3y+xy^3+g(x);$
3. $\frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y$
4. c одной стороны,   $\frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2+g'(x)_y$
с другой стороны,   $\frac{dF}{dy}=x^3+3xy^2$
Тогда, приравняв оба выражения, получим:
$g'(x)_y=0; g(x)=const.$
⇒ $F=x^3+3xy^2+C$
5. y(1)=1 ⇒ 
$F=x^3+3xy^2-3$