ответ: функция имеет минимум, равный -3/8, в точке M(1/8; 3/8; -3/8). Максимума функция не имеет.
Пошаговое объяснение:
1. Находим первые и вторые частные производные и после приведения подобных членов получаем:
du/dx=6*x-4*y-2*z, du/dy=-4*x+10*y+6*z-1, du/dz=-2*x+6*y+8*z+1, d²u/dx²=2, d²u/dy²=10, d²u/dz²=8, d²u/dxdy=-4, d²u/dydx=-4, d²u/dxdz=-2, d²u/dzdx=-2, d²u/dydz=6, d²u/dzdy=6.
2. Приравнивая нулю первые частные производные, получаем систему уравнений:
6*x-4*y-2*z=0
-4*x+10*y+6*z=1
-2*x+6*y+8*z=-1
Решая её, находим x=1/8, y=3/8, z=-3/8. Таким образом, найдены координаты единственной стационарной точки M (1/8; 3/8; -3/8).
3. Вычисляем значения вторых частных производных в стационарной точке:
d²u/dx²(M)=a11=6, d²u/dxdy(M)=a12=-4, d²u/dxdz(M)=a13=-2, d²u/dydx(M)=a21=-4, d²u/dy²(M)=a22=10, d²u/dydz(M)=a23=6, d²u/dzdx(M)=a31=-2, d²u/dzdy(M)=a32=6, d²u/dz²(M)=a33=8
4. Составляем матрицу Гессе:
H = a11 a12 a13 = 6 -4 -2
a21 a22 a23 -4 10 6
a31 a32 a33 -2 6 8
5. Составляем и вычисляем угловые миноры матрицы Гессе:
δ1 = a11 = 6, δ2 = a11 a12 = 44, δ3 = a11 a12 a13 = 192
a21 a22 a21 a22 a23
a31 a32 a33
6. Так как δ1>0, δ2>0 и δ3>0, то точка М является точкой минимума, равного u0=u(1/8; 3/8; -3/8)=-3/8.
Пусть х (км/ч) - собственная скорость катера, у (км/ч) - скорость течения реки. Составим систему уравнений по условию задачи:
(х + у) * 2 + (х - у) * 4 = 104
(х - у) * 1 + (х + у) * 0,25 = 21
Раскроем скобки
2х + 2у + 4х - 4у = 104
х - у + 0,25х + 0,25у = 21
Приведём подобные слагаемые
6х - 2у = 104
1,25х - 0,75у = 21 6х : 1,25х = 4,8 - доп.множ.
Домножим второе уравнение системы на 4,8
6х - 2у = 104
6х - 3,6у = 100,8
Вычтем из первого уравнения второе
1,6у = 3,2
у = 3,2 : 1,6
у = 2 (км/ч) - скорость течения реки
Подставим значение у в любое уравнение системы
6х - 2 * 2 = 104 1,25х - 0,75 * 2 = 21
6х = 104 + 4 1,25х = 21 + 1,5
6х = 108 1,25х = 22,5
х = 108 : 6 х = 22,5 : 1,25
х = 18 х = 18 (км/ч) - собственная скорость катера
ответ: 18 км/ч и 2 км/ч.
Проверка:
(18 + 2) * 2 + (18 - 2) * 4 = 104 (18 - 2) * 1 + (18 + 2) * 0,25 = 21
20 * 2 + 16 * 4 = 104 16 * 1 + 20 * 0,25 = 21
40 + 64 = 104 16 + 5 = 21
104 = 104 21 = 21