Question

Якими мають бути сторони прямокутника з площею 144 см^2 щоб його периметер набув найменшого значення

Answer 1

Нехай а см - одна сторона прямокутника ,тоді друга дорівнює $\frac{144}{a}$ см.
Периметр $P(a)=2*(a+\frac{144}{a})$

Розглянемо функцію $f(x)=2(x+\frac{144}{x}); x0$
$f'(x)=2(1-\frac{144}{x^2})$
шукаємо критичні точки
$f'(x)=0; 2(1-\frac{144}{x^2})=0$
$x^2=144$
$x_1=-\sqrt{144}=-12$ - не підходить
$x_2=\sqrt{144}=12$
точка 12 розбиваємо промінь $(0;+\infty)$ на два проміжки знакосталості (0;12) і $(12;+\infty)$

(0;12) для наприклад точки x=1; $f'(1)=2*(1-\frac{144}{1^2})=2*(-143)$ - значить на цьому проміжку функція f(x) спадає
$(12;+\infty)$ для наприклад x=24; $f'(x)=1-\frac{144}{24^2}=2*(1-0.25)=2*0.750$ - значить на цьому проміжку функція f(x) зростає
звідси $x=12$ - точка локального мінімуму,
значить функція $f(x)=2(x+\frac{144}{x})$ у точці х=12 приймає найменшого значення

а значить найменший периметр буде у прямокутника зі сторонами 
a=12, S=144/a=144/12=12
відповідь: 12 см, 12 см