Пусть a≠1, тогда имеем квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:
D=4((a-2)^2-(a-1)(a+1))=4(-4a+5)
Если D<0, то есть a>5/4, то корней нет
Если D=0, то есть a=5/4, то корень один (или, как правильнее говорить, их два, но они совпали. Еще говорят: кратный корень):
x= - (a-2)/(a-1)=3>0
Если D>0 (то есть a<5/4), корней два.
Один из возможных методов рассуждения основан на теореме Виета и на следующем простом соображении:
Два числа положительны тогда и только тогда, когда их произведение и сумма положительны.
Отсюда получаем систему (a+1)/(a-1)>0; (2-a)/(a-1)>0, решив которую методом интервалов, получаем условие
a∈(1;2).
Но a<5/4⇒ a∈(1;5/4).
Вспоминая полученные ранее значения a, получаем
ответ: [1;5/4]
Замечание для тех, кто входит в категорию 16+ )))
ответ в задаче зависит от того, как интерпретировать условие. Что значит "корнИ"? То есть корней должно быть больше одного? А если корень кратный, он один или их два?
По хорошему, чтобы не было разночтений, в условии должно быть написано: ХОТЯ БЫ ОДНО РЕШЕНИЕ. И именно решение, а не корень, чтобы решающий не мучился вопросом - кратный корень - это корень или корни. Возможна и такая формулировка: хотя бы одно значение x, удовлетворяющее уравнению.
