Добрый день! Давайте по порядку решать каждую задачу.
А) Найдём производную функции y=2(x-5). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования для функции, состоящей из произведения двух слагаемых, а именно
d(u*v) = u*dv + v*du,
где u и v - функции от x, а du и dv - их производные по x. В данном случае u=x-5, а v=2. Подставляя эти значения в формулу, получим:
dy/dx = (x-5)*(d2/dx) + 2*(d(x-5)/dx).
Производная константы равна 0, поэтому d2/dx=0. Также, производной x-5 является производная линейной функции, которая равна 1. Подставляя эти значения в формулу, получим:
dy/dx = 1*(x-5) + 2.
Упрощая выражение, получим:
dy/dx = x - 3.
Теперь вычислим значение производной в точке х1=0. Подставляя эту точку в выражение для дифференциала, получим:
dy/dx = 0 - 3 = -3.
Аналогично, вычислим значение производной в точке х2=2:
dy/dx = 2 - 3 = -1.
Таким образом, получаем, что в точке х1=0 значение производной равно -3, а в точке х2=2 значение производной равно -1.
Б) Теперь найдём производную функции y=x^(x+3). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования функции, возведённой в степень, которое гласит:
d(u^v) = v*u^(v-1)*du + ln(u)*u^v*dv,
где u и v - функции от x, а du и dv - их производные по x. В данном случае u=x, а v=x+3. Подставляя эти значения в формулу, получим:
Вычислим производные функций x и x+3. В обоих случаях производной является производная линейной функции, которая равна 1. Подставляя эти значения в формулу, получим:
dy/dx = (x+3)*x^(x+2) + ln(x)*x^(x+3).
Вычисление производных функций, возводящихся в степень, требует применения правила дифференцирования с использованием логарифмической и экспоненциальной функций, которые выходят за рамки школьной программы. Поэтому, для упрощения вычислений, остановимся на данном этапе.
Теперь вычислим значение производной в точке х1=0, подставляя эту точку в выражение для дифференциала:
dy/dx = (0+3)*0^(0+2) + ln(0)*0^(0+3).
Используя свойства логарифмов, получим:
dy/dx = 0 + ln(0) = неопределённость.
Здесь возникает неопределённость, так как при вычислении производной в точке x=0, входящая в формулу функция x^v становится равной 0^v=0, а логарифм нуля не существует в вещественных числах.
Точная же формула ведет к значению выражения ln(0), поскольку по определению ln(x) = ∫[1,x] (1/t) dt для x > 0. В данном случае x = 0, и получаем подынтегральное выражение 1/0, которое является неопределённостью.
