Question

Найти наибольшее значение функции у= (sin^2*2x): (sin^4*x+cos^4*x)

Answer 1

$y= \frac{sin^2(2x)}{sin^4(x)+cos^4(x)}$
$y'= \frac{2sin(2x)*cos(2x)*2*(sin^4(x)+cos^4(x))}{(sin^4(x)+cos^4(x))^2} -$
$- \frac{sin^2(2x)*(4sin^3(x)*cos(x)-4cos^3(x)*sin(x))}{(sin^4(x)+cos^4(x))^2}$
На самом деле это одна дробь, просто я ее написал в 2 строки, потому что в одну не помещается на строке.
В точках максимумов и минимумов производная равна 0.
Значит, приравняем числитель к 0.
Знаменатель (sin^4 x + cos^4 x)^2 > 0, очевидно, при любом x.
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x) + cos^4(x)) -
- sin^2(2x)*4sin(x)*cos(x)*(sin^2(x) - cos^2(x)) = 0
Немного упрощаем
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x)+cos^4(x)) - 4sin^2(2x)*sin(2x)/2*(-cos(2x)) = 0
Выносим общие множители за скобки
4sin(2x)*cos(2x)*(sin^4(x)+cos^4(x)+sin^2(2x)/2) = 0
1) sin(2x) = 0, тогда y = 0
2) cos(2x) = 0, тогда sin^2 (2x) = 1; 2x = pi/2 + pi*n; x = pi/4 + pi/2*n
sin^4 (x) = (1/√2)^4 = 1/4; cos^4 (x) = (1/√2)^4 = 1/4
y = 1/(1/4 + 1/4) = 1/(1/2) = 2
3) sin^4(x) + cos^4(x) + sin^2(2x)/2 = 0
Это уравнение, очевидно, корней не имеет - сумма трех квадратов, которые не могут быть все трое равны 0 одновременно.
ответ: максимальное значение функции y(pi/4 + pi/2*n) = 2