Question

Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка. xy' + y = x + 1 ; y(1)=0

Answer 1

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.
Решим методом Бернулли
Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv', получаем

$x(u'v+uv')+uv=x+1\\ \\ u(v+v'x)+u'vx=x+1$

Данный метод состоит из двух этапов :

1) $v+v'x=0$
Это уравнение с разделяющимися переменными.
$v'=- \dfrac{v}{x}$ отсюда $v= \frac{1}{x}$

2) Находим u

$u'=x+1$
Интегрируя, получаем

$u= \frac{x^2}{2} +x+C$

Тогда общее решение: $y= \frac{x}{2} + \frac{C}{x} +1$

Найдем теперь частное решение

0 = 1/2 + C + 1

C = -3/2

Частное решение имеет вид: $y= \frac{x}{2}- \frac{3}{2x} +1$

Answer 2

Альтернативный решения

$xy'+y=x+1;\ (xy)'=x+1;\ xy=\int(x+1)\, dx;\ xy=\frac{x^2}{2}+x+C;$

$y=\frac{x}{2}+1+\frac{C}{x}; y(1)=0\Rightarrow 0=\frac{1}{2}+1+C\Rightarrow C=-\frac{3}{2};\ y=\frac{x}{2}+1-\frac{3}{2x}$

ответ: $y=\frac{x}{2}+1-\frac{3}{2x}$