Question

Довести, що значення виразу "n3-n "завжди ділиться націло на 6. (n3 - n в 3 ! )

Answer 1

Доказать, что $(n^3-n)\,\,\, \vdots \,\,\,6$
Докажем методом мат. индукции

1) Базис индукции (n=1)
$(1^3-1)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ 0\,\,\, \vdots \,\,\,6$
Первое утверждение выполняется.

2) Предположим что и для n=k тоже выполняется

$(k^3-k)\,\,\, \vdots \,\,\,6$

3) Индукционный переход (n=k+1)

$((k+1)^3-(k+1))\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ (k+1)((k+1)^2-1)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ (k+1)(k+1-1)(k+1+1)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ k(k+1)(k+2)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ (k^3+3k^2+2k)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ (k^3-k+3k^2+3k)\,\,\, \vdots \,\,\,6\\ \\ \bigg(\underbrace{k^3-k}_\big{\vdots\,\,\,6}+\underbrace{3k(k+1)}_\big{\vdots\,\,\,\,6}\bigg)\,\,\, \vdots \,\,\,6$

Доказать, что $3k(k+1)$ делится ли на 6 можно опять же мат индукцией