Question

Числа 412 и 181 имеют одинаковое произведение цифр, равное 8. сколько ещё трёхзначных чисел таким же свойством?

Answer 1

36 177

Пошаговое объяснение:

1) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа, цифры первого различны, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены

таких пар чисел получится 9*7*8*3*2*1=3024

(9*7*8 - столькими можно построить первое число, с различными цифрами от 1 до 9, на первое место 9 претендентов, на второе 8, на третье 7, второе число из цифр первого можно составить на первое место одну из 3х цифр, на второе одну из 2, на третье 1,

пример число 431 на первое и на второе 431,413, 341,314, 134,143)

2) Числа состоящие из цифр без 0 в записи числа, две цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, отличаются (или нет) в порядке в котором расположены

(9*8*3=216, цифру которая не повторяется выбрали цифру которая повторяется 8 или наоборот, второе число 3 варианту на которое поставить цифру которая не повторяется, остальные по умолчанию,

пример 311, второе число 311, 131, 113)

3) Числа состоящие из цифр первого без 0 в записи числа, три цифры первого одинаковы, цифры второго совпадают с цифрами первого, всего таких 9 чисел

111, 222, , 999 - первое и второе число

теперь если цифры первого не повторяют полностью первого и без 0 в записи

---

4) Числа, состоящие из цифр без 0 в записи числа. Третья цифра произведение двух других.

( три единицы дают 3 случай, не рассматриваем),

(-1) одна цифра является произведением двух других

(0) 2=1*2=2*1 - не подходит, учтено в случае 2

(0) 3=1*3=3*1 - не подходит, учтено в случае 2

(1) 4=1*4=2*2 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок

ненулевую цифру отличную от 1,2,4 можно выбрать

сначала выбираем первое оно может содержать 1 и 4 (или 4 и 1), или 2 и 2 и третью цифру

в случае 1 и 4 имеем что первое число можно выбрать второе тогда содержит 2 и 2 , и его можно выбрать лишь размещением не 2, всего

итого

и соответственно наоборот в случае для первого с 2 и 2

теперь если третья цифра 4 (или 1) - первое число можно выбрать расставить уникальную цифру), второе расставить уникальную цифру, всего

если третья цифра 2 - первое число можно выбрать расставить в произвольном порядке три разные цифры, второе 1 - все три цифры одинаковые, всего

суммируя этот случай

(0) 5=5*1=1*5 - не подходит, учтено в случае 2

(2) 6=1*6=2*3 - две цифры заданы для каждого числа, третья одинакова, но следует учесть порядок

если цифра отличается от 1,6,2,3 третью цифру можно выбрать и задать порядок для первого числа 3*2*1=6, для второго

всего

если третья цифра или 1 или 6 или 2 или 3, получим три для одного числа и 6 для второго, всего

суммируя

(0) 7=1*7=7*1 - не подходит, учтено в случае 2

(2) 8 =1*8=2*4 - по аналогии с 6=1*6=2*4 получаем

(1) 9=1*9=3*3 - по аналогии с 4=1*4=2*2 получаем

итого

5) Числа, произведение цифр, которых равно, но одна из них не является произведением двух других (для этого цифры должны попарно иметь взаимные делители отличные от 1, претенденты либо четные различные числа вообще либо 4 и 8, либо 3 и 6, либо 6 и 9 либо 3 и 9)

2 и 4 не подходит - так как 2*4=2*2*2

2 и 6 - тогда две цифры второго 3 и 4, получаем выбрать третью общую цифру отличную от для порядка цифр первого числа для второго, остальные случаи рассмотрены раннее)

2 и 8 , 2*8=4*4 , выбрать третью цифру порядок первого 6, третьего 3, всего

4 и 8 - не подходит - нельзя переложить в произведение других цифр

точно так же 3 и 6, и 3 и 9, и 6 и 9

6) случай если вторая или третья цифра в записи 0, тогда имеем

выбрать первое число (первую ненулевую на второе или третье 0, третью цифру любую из 10 )

и выбрать второе (9 вариантов выбрать первую, 0 на вторую или третью позицию и 10 вариантов выбрать последнюю цифру, всего 180*180=32 400

итого всего возможных пар трехзначных чисел получается 3024+216+9+96+168+168+96+108+32400=36 177