Question

Вычислить приближенно с точностью 0,001 интеграл , разлагая подинтегральную функцию в степенной ряд ∫ от0 до0,5 dx/(1+x^4)^1/4

Answer 1

Разложим функцию f(t)=1/(1+t)^(1/4) около точки t = 0, оставив только первые два члена:

$\dfrac{1}{(1+t)^{1/4}}=1-\dfrac t4+R_1(t)$

Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа. Мы будем вместо t подставлять x^4, x изменяется от 0 до 0,5, значит, t изменяется от 0 до 1/16.

$R_1(t)=\dfrac{f''(\xi)t^2}{2!},\quad \xi\in\left[0,\dfrac1{16}\right]$
$|R_1(t)|=\left|\dfrac5{16(\xi+1)^{9/4}}\cdot\dfrac{t^2}2\right|\leqslant\dfrac5{16}\cdot\dfrac{1/16^2}{2}\ \textless \ 0.001$

$\displaystyle \int_0^{0.5}(1-x^4/4)\,dx=0.5-\frac{0.5^5}{20}=\frac{319}{640}\approx0.498$

Проверим, что нужная точность достигнута:
$\displaystyle\left|\int_0^{0.5}\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}-\int _0^{0.5}\left(1-\frac{x^4}4\right)\,dx\right|=\left|\int_0^{0.5}R_1(t(x))\,dx\right|\leqslant0.5|R_1|\ \textless \ \\\ \textless \ 0.001$

ответ. 0,498