Question

Пять действительных чисел таковы, что произведение любых четырех больше 1. доказать, что если произведение всех пяти чисел меньше одного, то оно будет меньше -1

Answer 1

Пусть произведение всех чисeл равно П, а сами числа x1, x2, x3, x4, x5. Тогда
П / x1 > 1
П / x2 > 1
П / x3 > 1
П / x4 > 1
П / x5 > 1

Перемножаем все неравенства.
П^5 / x1x2x3x4x5 > 1
П^5 / П > 1
П^4 > 1
|П| > 1

Учитывая, что по условию П < 1, то П < -1.


По-другому: пусть какое-то число равно x, а произведение всех чисел кроме x равно П.
По условию П > 1, xП < 1. Чтобы так получилось, необходимо, чтобы было x < 1.

Так как x было любым числом, получается, что все числа меньше 1. Значит, среди любых четырех чисел есть четное число отрицательных чисел - 4 положительных числа, меньших 1, не могут дать произведение, большее одного.

Более того, все числа отрицательны. Действительно, пусть есть одно положительное. Как мы уже доказали, среди чисел есть так же хотя бы одно отрицательное. Вычислим произведения 4 чисел сначала без отрицательного, а потом без положительного. Очевидно, произведения будут разных знаков, хотя по условию они положительны и больше 1. Противоречие.

Пусть x - наибольшее по модулю число. Тогда, так как произведение всех остальных чисел  П больше 1, то среди остальных чисел есть хотя бы одно с модулем, большим 1, тогда тем более |x| > 1 и x < 0.
Так как П > 1, x < -1, то xП < -1, что и требовалось доказать.