Question

Найти общее решение методом лагранжа y''-y=e^x/(e^x+1)

Answer 1

Найдем сначала общее решение однородного дифференциального уравнения вида :
$y''-y=0$
Перейдем к характеристическому уравнению.
Пусть $y=e^{kx}$, тогда будем получать

$k^2-1=0\\ k=\pm1$

Общее решение однородного уравнения: $y_o=C_1e^x+C_2e^{-x}$

Найдем частное решение.

Примем константы за функции

$\displaystyle \left \{ {{C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0} \atop {C_1'e^x-C_2'e^{-x}= \frac{e^x}{e^x+1} }} \right.$

$C_1'e^x=-C_2'e^{-x}$

И подставим во второе уравнение
$-C_2'e^{-x}-C_2'e^{-x}= \dfrac{e^x}{e^x+1} \\ \\ C_2'=- \dfrac{e^{2x}}{2(e^x+1)} \\ \\ \\ C_1'= \dfrac{1}{2(e^x+1)}$

Интегрируя обе части уравнения, имеем

$\displaystyle \left \{ {{C_1= \frac{x}{2}- \frac{1}{2} \ln(e^x+1)+\widetilde{C_1}} \atop {C_2=- \frac{e^x}{x} + \frac{1}{2} \ln(e^x+1)+\widetilde{C_2}}} \right.$

Тогда общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

$\boxed{y=C_1e^x+C_2e^{-x}-0.5+0.5xe^x+\ln(e^x+1)(0.5e^{-x}-0.5e^x)}$