Question

Разложить функцию
f(x)=
{-x, -pi<0<=0
{0, 0в ряд Фурье на интервале (-pi; pi)

Answer 1

Функція f(x) є непарною, оскільки f(-x) = -f(x). Тому, для розку функції f(x) в ряд Фур'є на інтервалі (-π, π), ми можемо використувати формулу для розкладу непарної функції:

b_n = (1/π) ∫[−ππ] f(x) sin(nx) dx

де n = 1, 2, 3, ...

Оскільки f(x) = -x на інтервалі (-π, 0) та f(x) = 0 на інтервал (0, π), ми можемо розкласти функцію f(x) на дві частини та обчислити коефіцієнти b_n для кожної з них окремо.

Для першої частини (-π, 0), ми маємоb_n = (1/π) ∫[−π,0] f(x) sin(nx) dx

   = (1/π) ∫[−π,0] (-x) sin(nx) dx

   = (1/π) [x cos(nx)] [−π,0] - (1/π) ∫[−π,0] cos(nx) dx

   = (1/π) [0 - (-π) cos(nπ)] - (1/πn) [sin(nx)] [−π,0]

   = 2/πn

Для другої частини (0, π), ми маємо:

b_n = (1/π) ∫[0,π] f(x) sin(nx) dx

   = (1/π) ∫[0,π] 0 sin(nx) dx

   = 0

Отже, ряд Фур'є для функції f(x) на інтервалі (-π, π) має вигляд:

f(x) = ∑[n=1,∞] (2/πn) sin(nx)

або, в іншій формі запису:

f(x) = (4/π) ∑[n=1,∞] (sin((2n-1)x)/(2n-1))

Пошаговое объяснение: