Question

Решите параметр x^2+(x-1)*(2x-a)^0.5=x уровнение иммеет одно решение на промежуте (0: 1)

Answer 1

Область определения: 2x - a >= 0; x >= a/2
Напишем в более привычном виде:
$x^2+(x-1) \sqrt{2x-a}=x$
Оставим корень слева
$(x-1) \sqrt{2x-a}=x-x^2=x(1-x)$
Один корень нам уже известен: x = 1, но он не входит в (0; 1).
Разделим всё на (x - 1)
$\sqrt{2x-a}=-x$
Так как корень арифметический, то есть неотрицательный, то правая часть тоже неотрицательная, значит, x < 0.
Возводим все в квадрат.
2x - a = x^2
x^2 - 2x + a = 0
D/4 = 1 - a >= 0
Если а = 1, то x = 1 ∉ (0; 1) - нам не подходит.
Если a < 1, то D > 0
x1 = 1 - √(1 - a)
x2 = 1 + √(1 - a)
Ясно, что x2 > x1 при любом а.
Нам нужно, чтобы только 1 корень попал в (0; 1). Возможны варианты:
1) x1 < 0; x2 ∈ (0; 1)
{ 1 - √(1 - a) < 0
{ 1 + √(1 - a) > 0 - это верно при любом a <= 1
{ 1 + √(1 - a) < 1 - это не верно ни при каком а
Решений нет.
2) x1 ∈ (0; 1); x2 > 1
{ 1 - √(1 - a) > 0
{ 1 - √(1 - a) < 1
{ 1 + √(1 - a) > 1 - это верно при любом а
Отделяем корни от чисел
{ √(1 - a) < 1
{ √(1 - a) > 0 - это верно при любом a < 1
Получаем
1 - a < 1
a > 0
ответ: a ∈ (0; 1)