Question

Xy'+y=cosx диф уравнение первого порядка

Answer 1

$\displaystyle xy'+y=\cos x\\ \\ \\ x\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{dx}{dx} \cdot y=\cos x\\ \\ \\ \frac{d(x\cdot y)}{dx}=\cos x$

$d(xy)=\cos x dx$

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$xy=\sin x +C$ - общий интеграл

$y= \dfrac{\sin x +C}{x}$ - общее решение

Answer 2

$xy'+y=cosx\; |:x\ne 0\\\\y'+\frac{y}{x}=\frac{cosx}{x}$

Линейное дифф. уравнение 1 порядка.
Ищем решение в виде произведения:

$y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'+\frac{uv}{x}= \frac{cosx}{x} \\\\u'v+u(v'+\frac{v}{x})= \frac{cosx}{x} \\\\a)\; \; \frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} \; \; ,\; \; \int \frac{dv}{v} =-\int \frac{dx}{x} \\\\ln|v|=-ln|x|\; \; \; \Rightarrow \; \; \; v=x^{-1}=\frac{1}{x}\\\\b)\; \; u'\cdot \frac{1}{x} = \frac{cosx}{x} \\\\ \frac{du}{dx} =cosx\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \int du=\int cosx\, dx\\\\u=sinx+C\\\\c)\; \; y=\frac{1}{x}\cdot (sinx+C)$